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title: "진자 운동의 정확한 해 — 소각도 근사 너머의 세계"
published: 2026-01-20T22:36:06.000Z
canonical: https://jeff.news/article/1079
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# 진자 운동의 정확한 해 — 소각도 근사 너머의 세계

소각도 근사(sin θ ≈ θ)로 풀던 진자 문제를 정확한 비선형 미분방정식으로 풀어내는 전 과정을 다룬 글. 제1종 불완전 타원적분을 활용한 야코비 타원 사인 함수가 정확한 해.

## 어쩌다 이 문제를 풀게 됐는가

- 2024년 봄에 나온 LLM 평가 벤치마크 "Humanity's Last Exam"에서 **축이 미끄러지는 진자** 문제를 발견한 게 시작임. "대학 물리 수업에서 배운 진자 문제의 일반화 아닌가, 쉽게 풀겠다"고 큰소리쳤다가, 기본 진자부터 다시 풀어보니 그동안 "끔찍한 근사"를 풀고 있었다는 걸 깨달음
- 단순해 보이는 설정임에도 불구하고, 진자의 운동은 **근본적으로 복잡하고 해석적 모델링이 안 됨**. 이 글은 소각도 근사(Small Angle Approximation)부터 정확한 비선형 미분방정식 풀이까지 전 과정을 다룸

## 소각도 근사: sin(θ) ≈ θ

- 흔히 물리 수업에서 배우는 버전. sin(θ)를 θ로 치환하면 미분방정식이 깔끔하게 풀림
- 양변에 θ̇를 곱하고, 역체인룰로 적분하고, 변수분리를 한 뒤, arcsin의 적분 정의에 매칭시키면 **θ(t) = θ₀ cos(√(g/l) · t)** 라는 깔끔한 해가 나옴
- 작은 각도에서는 정확하지만, 각도가 커지면 실제 운동과 크게 벗어남

## 비선형 미분방정식: 진짜 풀이

- 정확한 방정식은 θ̈ = -(g/l)sin(θ)인데, sin(θ)를 θ로 바꿀 수 없으니 표준 적분이 안 됨
- 앞부분(양변에 θ̇ 곱하고 적분, 변수분리)까지는 소각도 버전과 동일한데, 변수분리 후 나오는 적분이 arcsin처럼 깔끔하게 떨어지질 않음
- 여기서 **타원 사인 함수(Elliptic Sine Function)의 역함수**를 목표로 잡음. 주기함수라 진자 운동과 맞고, 대수적으로도 가까워 보이기 때문
- 반각 항등식(half-angle identity)으로 치환하고, 새로운 "유틸리티 변수" u를 정의해서 적분식을 **제1종 불완전 타원적분(IEIFK)**에 맞춤. "중간에서 만나는" 방식으로 u와 θ의 관계를 유도하는 과정이 핵심인데, 결정론적 레시피가 없고 교양 있는 추측과 검증(educated guess and check)이 필요함

- 최종 해: **θ(t) = 2 arcsin(k · sn(√(g/l) · t, k))** 여기서 k = sin(θ₀/2), sn은 야코비 타원 사인 함수

## 브라우저에서 직접 비교

- 글 저자가 두 해(근사 vs 정확)를 브라우저 애니메이션으로 구현해서 비교함. 시작 각도 60°에서 테스트하면 소각도 근사는 움직임이 로봇 같고, 정확한 해는 꼭대기 근처에서 느려지는 게 훨씬 "실제" 느낌
- 타원 적분 계산에는 Cephes 코드를 Claude로 TypeScript로 변환해서 사용

> [!TIP]
> 단변수 미적분, 뉴턴 역학, 삼각함수에 익숙하다면 따라갈 수 있는 수준. 진자 문제가 왜 "쉬운 척하는 어려운 문제"인지 알고 싶다면 일독 가치 있음

## 핵심 포인트

- Humanity's Last Exam 벤치마크의 진자 문제에서 출발, 기본 진자부터 다시 풀어봄
- 소각도 근사는 arcsin으로 깔끔하게 풀리지만 큰 각도에서 부정확
- 정확한 해는 타원 사인 함수(sn)를 사용하며, 중간 과정에서 교양 있는 추측과 검증이 필요
- 60° 시작 각도에서 두 해를 브라우저 애니메이션으로 비교

## 인사이트

물리 수업에서 당연하게 사용하던 근사가 얼마나 큰 생략인지를 보여주는 글. 수식이 많지만 단계별 설명이 충실함.