로그는 생각보다 많은 수학 개념의 공통 언어일지도 모름

로그를 ‘숫자 함수’가 아니라 ‘단위 변환’으로 보기

• 글의 출발점은 log_b(x) 표기가 로그의 직관을 오히려 가린다는 문제의식임

  • 보통 log_b(x)는 b^y = x인 y로 정의함
  • base change 공식 log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)는 사실상 “x를 a 단위로 잰 값”을 “b를 a 단위로 잰 값”으로 나누는 단위 변환처럼 볼 수 있음

• 필자는 여기서 ‘무기저 로그(baseless logarithm)’라는 추상 객체를 제안함

  • log N을 아직 특정 base로 숫자화하지 않은 객체로 보고, log_2 N = log N / log 2로 해석함
  • log 2는 bits라는 단위, log e는 nats라는 단위처럼 취급됨

• 이 관점에서는 로그의 base change가 길이를 미터와 킬로미터로 바꿔 쓰는 일과 비슷해짐

  • log N = log_2(N) bits = ln(N) nats처럼 같은 대상을 다른 단위로 표현하는 셈
  • 저자는 이게 벡터를 특정 좌표계에 투영하는 일과 닮았다고 봄

로그와 벡터가 닮았다는 주장

• 무기저 로그는 좌표 없는 기하 벡터와 비슷하게 취급됨

  • 기하 벡터는 좌표계를 고르기 전에도 존재하고, 특정 basis를 고르면 좌표 숫자로 표현됨
  • 마찬가지로 log N은 base를 고르기 전의 양이고, log 2로 나누면 bits 단위의 숫자가 됨

• 저자는 log N / log 2를 벡터를 measuring stick으로 재는 연산에 비유함

  • 1차원 벡터 v를 단위 m으로 나누면 몇 m인지 나오는 것과 같은 구조라는 얘기임
  • 그래서 log_2 N은 “N 안에 2가 몇 factor 들어가나”라기보다 “log N을 log 2 단위로 잰 값”에 가까움

• 여기서 한 단계 더 나아가 ‘부분 로그’ 같은 게 있을 수 있냐는 질문으로 감

  • 예를 들어 N = 2^a 3^b라면 전체 로그는 a log 2 + b log 3 형태로 볼 수 있음
  • 하지만 일반 로그 표기만으로는 log 2 성분만 꺼내는 partial derivative 같은 연산을 자연스럽게 쓰기 어렵다는 문제를 제기함

이미 수학 여러 분야가 비슷한 연산을 따로 발명했다는 관찰

• p-adic valuation은 로그의 특정 성분을 꺼내는 투영처럼 보인다고 설명함

  • ν_p(n)은 정수 n에 소수 p가 몇 번 곱해져 있는지 세는 값임
  • log n = n_2 log 2 + n_3 log 3 + n_5 log 5 + ...로 보면, ν_p(n)은 log p 성분의 계수만 뽑는 연산처럼 읽힘

• 복소해석의 order of vanishing도 비슷한 구조로 제시됨

  • 함수가 z=a 근처에서 몇 차의 zero나 pole을 갖는지 읽는 값임
  • 저자는 lim_{z -> a} log f(z) / log(z-a) 형태가 지배적인 항의 차수를 뽑아내므로 로그 기반 projection과 닮았다고 봄

• 결론은 “서로 다른 이름의 연산들이 사실 비슷한 기본 구조를 반복하고 있는 것 아니냐”는 쪽임

  • p-adic valuation, partial derivative, order of vanishing이 각각 다른 분야에서 등장하지만, 모두 어떤 성분을 추출하는 연산처럼 보인다는 것
  • 저자도 이걸 완성된 이론으로 제시하진 않고, 통합 이론의 단서처럼 다룸

벡터, 차원, 함수까지 로그로 읽기

• 벡터는 translation operator의 로그로 볼 수 있다고 주장함

  • 미분기하에서 벡터 v_x ∂_x + v_y ∂_y는 e^(v_x ∂_x + v_y ∂_y)를 통해 좌표를 이동시키는 translation operator를 만들 수 있음
  • 이때 translation operator의 로그를 취하면 다시 벡터가 나오므로, 벡터도 어떤 의미에선 로그라는 해석임

• 차원 연산 dim도 로그처럼 행동한다고 봄

  • 유한체 K 위의 유한차원 벡터공간 V는 크기가 |K|^dim_K V가 됨
  • 따라서 dim_K V = log_|K| |V|가 말 그대로 성립하고, direct sum·quotient·tensor product의 차원 공식도 로그 법칙과 닮아 있음

• 함수 표현까지 로그처럼 읽으려는 시도도 나옴

  • 집합 X에서 A로 가는 함수의 개수는 A^X로 표현되고, 전개하면 가능한 함수들을 항으로 나열할 수 있음
  • 저자는 단일 함수 a^x b^y의 로그가 관계 표현 x log a + y log b와 닮았다고 보지만, 이 부분은 본인도 아직 해석이 불안정하다고 인정함

글의 진짜 메시지

• 이 글은 엄밀한 정리 모음이라기보다 표기법 뒤에 숨어 있는 공통 패턴을 찾는 수학 에세이에 가까움

  • 저자는 로그를 곱셈적 표현을 덧셈적 표현으로 바꾸는 동형(isomorphism)으로 넓게 보고 있음
  • 그 관점에서 차원, valuation, derivative, vector, function 같은 개념들이 같은 원시 연산의 변형처럼 보인다는 주장임

• 개발자 입장에서 바로 써먹을 API 뉴스는 아니지만, 정보 이론·선형대수·미분기하를 다루는 사람에겐 꽤 자극적인 글임

  • 특히 “base는 좌표계고, log N은 좌표를 고르기 전의 객체”라는 관점은 bits, nats, entropy, dimension을 같이 생각할 때 도움이 됨
  • 다만 저자 스스로도 상당 부분을 handwavey하다고 표현하니, 정설보다는 아이디어 스케치로 읽는 게 맞음

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기술 맥락

• 이 글의 핵심 선택은 로그를 특정 base에 묶인 숫자 함수로 보지 않고, base를 고르기 전의 추상 객체로 보는 거예요. 왜냐하면 그렇게 해야 base change가 공식 암기가 아니라 단위 변환이나 좌표 변환처럼 자연스럽게 보이거든요.

• p-adic valuation이나 order of vanishing을 끌어오는 이유는 단순 비유를 넘어서기 위해서예요. 둘 다 어떤 전체 표현에서 특정 성분이나 지배적인 차수를 꺼내는 연산이라, 필자가 말하는 ‘로그의 projection’ 감각을 실제 수학 사례로 보여줘요.

• 차원을 로그로 보는 부분은 유한체 위 유한차원 벡터공간에서는 꽤 직접적이에요. |V| = |K|^dim이니까 차원은 정말로 크기의 로그가 되고, 이 때문에 direct sum이나 tensor product의 차원 공식이 로그 법칙처럼 보이는 거예요.

• 다만 이 글은 구현 가능한 알고리즘이나 검증된 이론을 제시하는 글은 아니에요. 왜 이런 표기들이 여러 분야에서 반복되는지 감각을 열어주는 글에 가깝고, 엄밀성은 독자가 따로 점검해야 해요.