외로운 러너 추측 — 하나의 접근법으로 8, 9, 10명 케이스를 한꺼번에 돌파

"외로운 러너" 추측 — 단순해 보이지만 수십 년째 안 풀리는 문제에서 새 진전

• 원형 트랙을 서로 다른 일정한 속도로 달리는 러너들이 있을 때, 모든 러너가 언젠가는 "외로운" 순간(다른 모든 러너로부터 일정 거리 이상 떨어진 순간)을 경험하는가?라는 문제. 단순해 보이지만 1960년대부터 미해결 상태였음

• 이 문제가 재미있는 이유는 수학의 여러 분야와 동치(equivalent)임이 밝혀졌기 때문. 예를 들어 무한한 그래프 용지의 각 격자 중앙에 작은 정사각형을 놓고, 한 격자 꼭짓점에서 직선을 그을 때 정사각형이 얼마나 커야 반드시 직선에 맞는가라는 기하학 문제와도 같음

• 2000년대 중반까지 러너 7명 이하에서만 증명. 매번 새로운 케이스마다 완전히 다른 기법(정수론, 기하학, 그래프 이론)이 필요해서 일반적인 전략이 없었음

핵심 돌파구

• 2015년, 테렌스 타오가 씨앗을 뿌림: 낮은 속도에서 추측이 성립하면 높은 속도에서도 성립한다는 걸 보여줌. 이론적으로 유한한 계산으로 줄어들었지만, 실제 조합 수는 "천문학적이고 완전히 비실용적"이었음
• Rosenfeld의 접근: 반례가 있으려면 러너들의 속도가 어떤 특성을 가져야 하는지를 역으로 추적. 모든 속도의 곱이 특정 소수들로 나누어져야 한다는 걸 컴퓨터 프로그램 + 정수론으로 보여줌. 그런데 그런 곱은 타오가 설정한 임계값을 훨씬 초과할 수밖에 없어서 → 반례 불가능 → 8명 증명 완료
• Trakulthongchai: 옥스포드 학부생으로, Rosenfeld의 전략을 더 효율적인 계산 기법으로 개선해서 9명과 10명을 한꺼번에 증명. Rosenfeld도 독립적으로 9명을 며칠 차이로 증명했는데, "기쁘면서도 좀 아쉬웠다"고 웃으며 말함

• 10월에 로스토크에서 이 추측 전용 워크숍이 열릴 예정. 다양한 분야의 연구자들이 모여서 "다른 각도"에서 접근하려는 시도
• 원래 이 문제를 제안한 Wills: "문제는 풀릴 거라 확신하지만, 20~30년은 더 걸릴 수 있음"