진자 운동의 정확한 해 — 소각도 근사 너머의 세계

어쩌다 이 문제를 풀게 됐는가

• 2024년 봄에 나온 LLM 평가 벤치마크 "Humanity's Last Exam"에서 축이 미끄러지는 진자 문제를 발견한 게 시작임. "대학 물리 수업에서 배운 진자 문제의 일반화 아닌가, 쉽게 풀겠다"고 큰소리쳤다가, 기본 진자부터 다시 풀어보니 그동안 "끔찍한 근사"를 풀고 있었다는 걸 깨달음
• 단순해 보이는 설정임에도 불구하고, 진자의 운동은 근본적으로 복잡하고 해석적 모델링이 안 됨. 이 글은 소각도 근사(Small Angle Approximation)부터 정확한 비선형 미분방정식 풀이까지 전 과정을 다룸

소각도 근사: sin(θ) ≈ θ

• 흔히 물리 수업에서 배우는 버전. sin(θ)를 θ로 치환하면 미분방정식이 깔끔하게 풀림
• 양변에 θ̇를 곱하고, 역체인룰로 적분하고, 변수분리를 한 뒤, arcsin의 적분 정의에 매칭시키면 θ(t) = θ₀ cos(√(g/l) · t) 라는 깔끔한 해가 나옴
• 작은 각도에서는 정확하지만, 각도가 커지면 실제 운동과 크게 벗어남

비선형 미분방정식: 진짜 풀이

• 정확한 방정식은 θ̈ = -(g/l)sin(θ)인데, sin(θ)를 θ로 바꿀 수 없으니 표준 적분이 안 됨

• 앞부분(양변에 θ̇ 곱하고 적분, 변수분리)까지는 소각도 버전과 동일한데, 변수분리 후 나오는 적분이 arcsin처럼 깔끔하게 떨어지질 않음

• 여기서 타원 사인 함수(Elliptic Sine Function)의 역함수를 목표로 잡음. 주기함수라 진자 운동과 맞고, 대수적으로도 가까워 보이기 때문

• 반각 항등식(half-angle identity)으로 치환하고, 새로운 "유틸리티 변수" u를 정의해서 적분식을 제1종 불완전 타원적분(IEIFK)에 맞춤. "중간에서 만나는" 방식으로 u와 θ의 관계를 유도하는 과정이 핵심인데, 결정론적 레시피가 없고 교양 있는 추측과 검증(educated guess and check)이 필요함

• 최종 해: θ(t) = 2 arcsin(k · sn(√(g/l) · t, k)) 여기서 k = sin(θ₀/2), sn은 야코비 타원 사인 함수

브라우저에서 직접 비교

• 글 저자가 두 해(근사 vs 정확)를 브라우저 애니메이션으로 구현해서 비교함. 시작 각도 60°에서 테스트하면 소각도 근사는 움직임이 로봇 같고, 정확한 해는 꼭대기 근처에서 느려지는 게 훨씬 "실제" 느낌
• 타원 적분 계산에는 Cephes 코드를 Claude로 TypeScript로 변환해서 사용