4차원에서는 매듭을 묶을 수 없는 이유 — 저차원 비유로 이해하기

• 3차원에서 로프를 매듭 묶을 수 있는 건 1차원 로프끼리 서로 걸리기 때문임. 근데 4차원이 되면 이 매듭이 순식간에 풀려버림. 왜 그런지를 저차원 비유로 아주 깔끔하게 설명하는 글임

차원이란

• 차원은 공간에서 독립적인 방향의 수를 뜻함. 선은 1차원(앞뒤), 표면은 2차원(앞뒤+좌우), 우리가 사는 공간은 3차원(+위아래). 대각선은 독립적인 방향이 아님 — 앞으로 갔다가 옆으로 가면 같은 곳에 도달하니까
• 4차원 공간은 여기에 또 하나의 독립적인 방향이 추가된 거임. 시공간이 4차원인 이유가 이것 — 공간 3차원에 시간이라는 새 방향이 더해짐
• 4차원을 상상하는 한 가지 방법: 몰입형 3D 영화를 생각하면 됨. 각 "프레임"이 3차원이고, 시간 축으로 앞뒤로 감을 수 있는 것

매듭이 풀리는 원리

• 2차원 평면에 사는 개미 집단을 상상해보자. 평면 위에 선이 하나 그어져 있으면, 개미한테는 넘을 수 없는 장벽임. 근데 어느 날 개미의 세계가 3차원이 되면? 새로운 수직 방향으로 아주 살짝만 움직이면 선을 훌쩍 넘을 수 있음
• 이걸 한 차원 올려서 생각하면 됨. 3차원에서 수평 로프와 수직 로프는 반대 방향으로 당기면 서로 걸림. 근데 4차원이 되면? 수평 로프가 새로운 4번째 방향으로 아주 살짝만 움직이면 수직 로프를 완전히 피할 수 있음
• 시간 비유로 다시 설명하면: 두 로프가 같은 3D 프레임에 있는데, 수평 로프가 살짝 "미래 프레임"으로 이동하면 그 프레임에는 수직 로프가 없으니까 자유롭게 반대편으로 넘어간 뒤 다시 현재로 돌아오면 됨. 3차원 관점에서 보면 로프가 유령처럼 서로를 통과하는 것처럼 보임

더 높은 차원에서의 매듭

• 수학 공식이 있음: 매듭을 묶고 싶은 물체의 차원을 2배 하고 1을 더하면, 매듭이 가능한 최대 공간 차원이 나옴
• 1차원 로프는 최대 3차원(1×2+1=3)에서만 매듭 가능
• 2차원 표면(풍선, 담요 같은 것)은 최대 5차원(2×2+1=5)에서 매듭 가능
• 즉 4차원에서도 매듭은 가능함 — 단, 로프가 아니라 2차원 표면을 매듭 짓는 거임