기타를 세게 치면 음이 올라가는 이유: Kirchhoff-Carrier 방정식

현상

기타 줄을 세게 뜯으면 음정이 샤프해짐. 미묘한 수준이 아니라, 강하게 뜯으면 거의 쿼터톤(약 26센트)까지 올라갈 수 있음. 경험 많은 기타리스트라면 대부분 알고 있는 현상인데, 이 글은 그 물리적 원리를 수학적으로 유도함.

핵심 관계식: Δf/f₀ ∝ α² — 주파수 변화는 진폭의 제곱에 비례함.

물리적 원리

• 줄을 뜯으면 줄이 진동하면서 살짝 늘어남 → 장력 증가 → 주파수 상승
• 선형 파동방정식(ρ·h_tt = T₀·h_xx)은 장력이 일정하다고 가정하지만, 실제로는 변위에 따라 장력이 변함
• 이를 반영한 것이 비선형 Kirchhoff-Carrier 파동방정식임
• 이 방정식을 단일 모드로 축소하면 Duffing 진동자가 됨
• 에너지 방법으로 풀면 주파수 보정항이 α²에 비례하는 결과를 얻음

실험 결과

실제 일렉트릭 기타와 베이스 기타로 실험한 결과:

• Bass E (E1): 95번째 백분위 음량에서 +18.7센트 샤프
• Low E (E2): +26.0센트 샤프
• G (G3): +24.4센트 샤프
• High E (E4): +4.4센트 샤프

높은 음 줄일수록 효과가 작음. 이론적으로도 주파수가 높을수록 상대적 주파수 변화가 줄어든다고 예측함.

줄 재질과 구조의 영향

주파수 변화에 영향을 미치는 핵심 물성은 E/ρ(영률/밀도) 비율임:

• 플레인 스틸(감지 않은 강철): E/ρ ≈ 27 × 10⁶ m²/s²
• 와운드 스틸(감은 강철): E/ρ ≈ 3~4 × 10⁶ m²/s²
• 나일론: E/ρ ≈ 3~4 × 10⁶ m²/s²

플레인 스틸 줄이 와운드 스틸이나 나일론보다 약 7배 더 민감함. 나일론 기타가 이 현상에 훨씬 덜 영향받는 이유임. 줄의 굵기(게이지)는 모델상 영향이 없음.

프렛 위치 효과

직관적으로는 높은 프렛을 누르면 줄이 짧아져서 효과가 커질 것 같지만, 실제로는 상쇄됨. 12번 프렛에서 줄 길이가 반으로 줄지만 주파수는 2배가 되어, 두 효과가 정확히 취소됨.

이론 검증

Low E 줄에서 26센트 샤프라는 실험값을 이론식에 역대입하면, 변위 α ≈ 4.7mm가 나옴. 세게 뜯었을 때의 물리적 변위로 매우 합리적인 수치여서, Kirchhoff-Carrier 모델이 단순한 스케일링 법칙이 아니라 실제 물리를 잘 포착하고 있음을 확인함.